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振动力学笔记(一)

2026-02-15

振动

无阻尼单自由度振动瑞利法#

能量法求解固有频率时，对系统的动能只考虑了惯性元件的动能，忽略了弹性元件所具有的动能，因此计算出的固有频率是实际的上限。
在工程中弹性元件占系统总质量大比例的情况下不能忽略，否则计算得到的频率偏高。

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例如：弹簧质量系统
设弹簧动能： $T=\frac{1}{2} M_e \dot{x}^2$
系统最大动能： $T_{max}=\frac{1}{2}m\dot{x}^2_{max} +\frac{1}{2}m_t\dot{x}^2_{max} =\frac{1}{2}(m+m_t)\dot{x}^2_{max}$
系统最大势能： $V_{max}=\frac{1}{2}kx^2_{max}$
能量法 $T_{max} =V_{max}$ $dot{x}^2=\omega_0x_{max}$
推到得： $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m+m_t}}$

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等效刚度和等效阻尼#

方法1：#

选定广义坐标系后，将系统的动能和势能写入下：

T=\frac{1}{2} M_e \dot{x}^2

V=\frac{1}{2} K_e \dot{x}^2

当 $\dot{x}$ 、 x 分别取最大时， $T->T_{max}$ $V->V_{max}$
推到得：

\omega_0=\sqrt{\frac{K_e}{M_e}}

$K_e$ :简化系统的等效刚度 $M_e$ :简化系统的等效质量
等效的含义是指简化前后系统的动能和势能相等 alt text

方法2：定义法#

等效刚度：使系统在选定坐标系上产生单位位移而在此坐标方向上施加的力，叫做在这个坐标上的等效刚度。
等效刚度：使系统在选定坐标系上产生单位加速度而在此坐标方向上施加的力，叫做在这个坐标上的等效刚度。

单自由系统阻尼振动#

欠阻尼，振幅衰减振动
过阻尼，按指数规律衰减的非周期蠕动
临界阻尼，按指数规律耍贱的非周期运动，比过阻尼衰减快

欠阻尼系统#

最常用的阻尼力学模型为粘性阻尼，阻尼与速度成正比

P_d=cV

c：为粘性阻尼系数，或者阻尼系数
V：为速度
alt text 单自由度系统阻尼振动方程：

m\ddot{x(t)}+c\dot{x(t)}+kx(t)=0

设： $\frac{c}{m}=2\zeta\omega_0$ 有： $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ …无阻尼系统固有频率

方程两边同时除以m

\ddot{x(t)}+2\zeta\omega_0\dot{x(t)}+\omega_0^2x(t)=0\quad\zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}}\quad \zeta:\text {相对阻尼系数}

令： $x=e^{\lambda}$
特征方程：

\lambda^2+2\zeta\omega_0\lambda+\omega_0^2=0

特征根

\lambda_{1,2}=-\zeta\omega_0\pm\omega_0\sqrt{\zeta^2-1}

三种情况：

$\lambda<1$	$\lambda>1$	$\lambda=1$
欠阻尼	过阻尼	临界阻尼

欠阻尼自动振动#

求解过程#

\lambda<1

有两个复数根

\lambda_{1,2}=-\zeta\omega_0\pm\omega_d \quad\omega_d=\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}

振动解：

x(t)=e^{-\zeta\omega_0t}(c_1\cos(\omega_dt)\pm c_2\sin(\omega_dt))

$c_1$ 和 $c_2$ 由初始条件决定
设初始条件： $x(0)=x_0$ $\quad$ $\dot{x(0)}=\dot{x}_0$

x(t)=e^{-\zeta\omega_0t}(x_o\cos{\omega_dt}\pm{\frac{\dot{x_0}+\zeta\omega_0x_0}{\omega_d}}\sin{\omega_dt})

三角函数合并：

x(t)=e^{-\zeta\omega_0t}A(\sin{\omega_dt+\theta})

A=\sqrt{x_o^2+(\frac{\dot{x_0}+\zeta\omega_0x_0}{\omega_d})^2}\quad \theta=\tg^{-1}(\frac{\dot{x_0}+\zeta\omega_0x_0}{\omega_d})

A为振幅， $\theta$ 为相位差

周期分析#

由 $\omega_d=\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$ 推到周期 $T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}=\frac{2\pi}{\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}}=\frac{T_0}{\sqrt{1-\zeta^2}}$
因此，欠阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期。

减幅分析#

减幅系数定义：

\eta=\frac{\Delta_i}{\Delta_{i+1}}=e^{\eta\omega_0T_d}

alt text 对数减幅衰减率：

\Lambda=\ln\eta=\zeta\omega_0T_d=\frac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}

$\zeta<<1$ ， $\Lambda\approx 2\pi\zeta$ ,在工程中，相对阻尼系数 $\zeta$ 很小时，计算准确性高。 alt text

阻尼自由振动算例#

小球微振动，竖直方向运动，弧长近似于半径乘以弧度，根据振动的特性，惯性力为 $m\ddot{\theta}(t)l$ ，阻尼力 $c\dot{\theta}(t)a$ ，弹性力 $k\theta(t)b$ ，对于支点力矩为0（杆不会绕着支点转动）：

m\ddot{\theta}(t)l \ * l +c\dot{\theta}(t)a\ *a+k\theta(t)b\ *b=0 \\ ml^2\ddot{\theta}(t)+ca^2\dot{\theta}(t)+kb^2\theta(t)=0

惯性项系数： $ml^2$ 阻尼项系数： $ca^2$ 弹性项系数： $kb^2$
无阻尼 $\omega_0=\sqrt{\frac{kb^2}{ml^2}}$ 相对阻尼系数 $\zeta=\frac{\color{red}{c}}{2\sqrt{\color{red}{k}{\color{red}{m}}}}=\frac{{ca^2}}{2\sqrt{kb^2ml^2}}=\frac{ca^2}{2mlb}\sqrt{\frac{m}{k}}$
阻尼固有频率： $\omega_d=\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$