简谐激励的受迫振动#

1.1微分方程#

  设:$F(t)=F_0e^{i\omega t}$
  振动微分方程：

  非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
  齐次微分方程的通解就是阻尼自由振动的解，非齐次微分方程的特解为持续振动的稳态响应；

1.2求解稳态响应#

  m，c，k用$\omega_0$ 、$\zeta$ 、$B=\frac{F_0}{k}$

  设试解：$x(t)=\overline{x}e^{i\omega t}$   求导$\dot{x}=i\omega\overline{x}e^{i\omega t}$   $\ddot{x}=-\omega^2\overline{x}e^{i\omega t}$带入初始微分方程

  解：$\overline{x}=\frac{F_0}{-m\omega^2+ic\omega+k}$

  令：$H(\omega)=\frac{1}{-m\omega^2+ic\omega+k}$   设：$s=\frac{\omega}{\omega_0}$，带入$H(\omega)$

  对于虚数求模如下图，因此有$\beta=\frac{1}{\sqrt{(1-s^2)^2+(2\zeta s)^2}}$

  将$H(s)$用复数表示$H(s)=\frac{1}{k}\beta e^{-i\theta}$，$\theta=tg^{-1}(\frac{2\zeta s}{1-s^2})$   将$H(\omega)$带入试解得到稳态振动的特解：

      $\beta=\frac{1}{\sqrt{(1-s^2)^2+(2\zeta s)^2}}$   $\theta=tg^{-1}(\frac{2\zeta s}{1-s^2})$   $s=\frac{\omega}{\omega_0}$

1.4稳态响应幅频特性#

  以s为横坐标画$\beta (s)$曲线

  讨论：
  1. 当s<<1时（$\omega<<\omega_0$），$\beta \approx 1$

  系统响应与系统静位移相当；

  2. 当s>>1时（$\omega>>\omega_0$），$\beta \approx 0$

  系统响应振幅很小；

  3. 当s>>1，s<<1区域
  对于不同的$\zeta$值，$\beta$值接近，阻尼的影响在这两个区间影响不显著，系统可以按无阻尼情况考虑；

  4. 当$s \approx 1$时（$\omega \approx \omega_0$）

    对于较小的$\zeta$值，$\beta$迅速增大；

  5. 当$s = 1$时，$\beta \to \infty$
    发生共振，但共振对阻尼的影响很敏感，在s=1附件的区域内，增加阻尼可以使振幅明显下降；

  6. 对于有阻尼系统，$\beta_{max}$需要讨论函数的单调性

  当$s = \sqrt{1-2\zeta^2}$，$\beta=\beta_{max}=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}$

  7. 当$\zeta>1/\sqrt{2}$时，$\beta_{max}<1$     振幅无极值；

1.5稳态响应品质因子#

  记：$Q=\beta_{s=1}=\frac{1}{2\zeta}$，品质因子
  取s1和s2对应的$\beta=Q/\sqrt{2}$，有$Q\approx \frac{\omega_0}{\Delta \omega}$ ，$\Delta \omega$为半功率带宽，$\Delta \omega=\omega_2-\omega_1$

  $\zeta \text {很小，<5\%，其的高阶小量趋于零}$

  通过s1和s2求得$\omega_2^2-\omega_1^2$

  通过s=1点为s1和s2两点的中点可得

  因此：

  结论：阻尼约小，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭

1.6稳态响应相频特性#

  以s为横坐标画$\theta (s)$曲线

  讨论：
  1. 当s<<1时（$\omega<<\omega_0$），$\beta \approx 1$

  位移与激振力在相位上几乎是同步的；

  2. 当s>>1时（$\omega>>\omega_0$），

  位移与激振力在相位上相反；

  4. 当$s \approx 1$时（$\omega \approx \omega_0$）

    共振时相位差为$\frac{\pi}{2}$，与阻尼无关；